Abstraktion einer Funktion nach sich selbst: Der Y-Kombinator

Posted by Patrick Krusenotto on Okt 10, 2008 in Algorithmen, Allgemein, Perl |

Wenn sie diesen Artikel verstehen möchten, muss Ihnen der Begriff der “Closure” geläufig sein. Einen Artikel dazu werde ich der Vollständigkeit halber später noch verfassen.

Eine anonyme…

Wie in einigen anderen Programmiersprachen können in Perl Funktionen anonym definiert werden. Das bedeutet, sie werden an keinen Namen gebunden, sondern sofort aufgerufen, einer Variablen zugewiesen oder weitergereicht.

print sub{$_[0]*3}->(8);

gibt zum Beispiel 3*8 = 24 auf die Konsole. Die Sub wird “on the fly” definiert. und mit “….->;(8)” direkt aufgerufen. Danach wird sie allerdingds ein Opfer des Garbage Collectors. Es erfolgt keine Bindung an einen Namen, wie das bei

sub mal3 {$_[0]*3}

der Fall wäre.

Will man die Tatsache, daß eine “ordentliche” Funktionsdefinition nur die Bindung einer anonymen Funktion an einen Bezeichner ist, in der Notation expliziter machen, kann man in Perl auch folgendermaßen schreiben:

*mal3 = sub{$_[0]*3};

Das Ergebnis ist völlig identisch.

Um eine Funktion zu definieren, kann man also auf einen Namen verzichten. Namen sind eben Schall und Rauch… Doch halt! Was macht man, wenn man eine Funktion rekursiv definieren möchte? Wie formuliert man den rekursiven Aufruf, wenn das Kind keinen Namen hat? Gibt es da ein eigenes Sprachmittel, etwa so wie den Bezeichner “SUPER” , mit dem man in einer Methode auf die unmittelbare Elternklasse kommt, ohne zu wissen, wie sie heisst?

… und trotzdem rekursive Funktion …

Antwort: Nö. Aber: Es gibt aber eine Lösung. Sie kommt allerdings aus einer ganz anderen Ecke. DIe Lösung trägt den Namen Y-Kombinator. Diesen wollen wir jetzt ausprobieren.

Wir nehmen uns zunächst ein ödes Beispiel einer rekursiven Funktion daher: Die Fakultät. Nach dem oben Gesagten können wir das in Perl wie folgt schreiben:

*fak =
   sub {
     my $n=shift;
     if ($n==0) {
       return 1
     }
     else {
        return $n * fak($n -1);
     }
   };

Was an dieser Definition nun stört, ist das Auftreten des Namens fak in der siebten Zeile. Um ihn loszuwerden, müssen wir die rechte Seite der Zuweisung, “*fak=..”, also die anonyme Funktion nach fak abstrahieren. Wir verpacken sie daher in einen Parameter $psi und geben nun nicht mehr den Wert der Berechnung, sondern eine neue Funktion als Berechnungsergebnis zurück.

Das neue Gebilde ist die nicht-rekursive Funktion pfak (”parameterized fak”):

*pfak =
  sub {
     my $psi=shift;
     return sub {
       my $n=shift;
       if ($n==0) {
         return 1
       }
       else {
          return $n * $psi->($n -1);
       }
     }
  };

Das ist eine Funktion, die als Wert eine (anonyme) Funktion zurückgibt. Eine Funktion, die das tut, heißt in der Mathematik auch “Funktional”.

Wenn wir also an pfak die Funktion fak übergeben, erhalten wir die Funktion fak. Dazu muss man sich nur überlegen, daß dadurch der Parameter $psi mit der Funkion fak belegt wird. Wir könnten also fak nun folgendermaßen umdefineren, ohne die Funktion damit zu verändern:

*fak = pfak(\&fak)

Diese Gleichung besagt: efak bildet die Funktion fak auf sich selbst ab. (Kein Wunder, denn dafür haben wir sie ja auch gebaut!). Soetwas heißt in der Mathematik “Fixpunktgleichung”. Der Fixpunkt ist die Funktion fak. Das ist nichts anderes als eine Feststellung wie 1² = 1. Die Zahl 1 ist ein Fixpunkt der Quadratfunktion.

Tun wir jetzt einmal so, als wüssten wir über fak garnichts. Darum nenne ich fak jetzt hurz.

hurz === pfak(\&hurz)

(Der Operator “===” soll die Gleichheit zweier Funkionen andeuten)

Alles, was wir über hurz wissen, ist, daß die Funktion ein/der Fixpunkt von pfak ist. Falls es möglich ist, hurz aus pfak zu bestimmen, dann gäbe es ein Funktion Y, sodaß gilt:

hurz === Y(\&pfak)

… dank des Y-Kombinators!

Ja, also was soll man sagen? Eine solche Funktion gibt es! Es ist der Y-Kombinator von Haskell Curry, den dieser in den 40er Jahren gefunden hat. In Perl hat er folgende Gestalt:

   sub Y {
       my $e=shift;
       sub {
         my $x=shift;
         sub {
           my $u=shift;
           ($e->($x->($x)))->($u)
         }
       }->(sub {
             my $x=shift;
             sub {
               my $u=shift;
               ($e->($x->($x)))->($u)
             }
           }
         )
       }

Wir stellen zunächst fest, daß der Y-Kombinator nicht rekursiv ist. Es findet kein Aufruf von Y innerhalb von Y statt. Daß Y die Funktion fak als Fixpunkt von pfak “findet”, können Sie ganz leicht feststellen, indem Sie jetzt Ihren Perl-Interpreter anwerfen und die Funktionen pfak und Y hineinwerfen. Danach können Sie sich zum Beispiel mit

print Y(\&pfak)->(10)

die Fakultät der Zahl 10 berechnen lassen.

Daß das Ganze funktioniert, kann man ausprobieren, aber es ist alles Andere als einleuchtend. Darum müssen wir den Y-Kombinator etwas genauer unter die Lupe nehmen. Es bleibt nämlich die unbewiesene Behauptung, daß gilt:

fak == Y(\&pfak)

beziehungsweise, fak oder eben auch Y(\&pfak) Fixpunkt von pfak ist. Zu diesem Zweck kann man sich einfach mal anschauen, was passiert, wenn Y mit dem Parameter &pfak aufgerufen wird, indem jedes Vorkommen von $e-> durch efak ersetzt wird:

Y(\&efak) ===

sub {
  my $x=shift;
  sub {
    my $u=shift;
    (pfak($x->($x)))->($u)
  }
}->(sub {
      my $x=shift;
      sub {
        my $u=shift;
        (pfak($x->($x)))->($u)
      }
    }
)

Was hier entstanden ist, besteht offenbar aus zwei gleichen Teilen: Es ist eine sub, die sich selbst übergeben wird. Es ist also ein Ausdruck der Form $A->($A), wenn man annimmt, daß

$A = sub {
       my $x=shift;
       sub {
         my $u=shift;
         (pfak($x->($x)))->($u)
       }
    };

gilt.

Rechnet man weiter, was das bedeutet, indem $A in $A->() eingesetzt wird, ergibt sich

$A->($A)===sub {
             my $u=shift;
             (pfak($A->($A)))->($u)
           }

Man kann bereits erkennen, wo die Reise hingeht. Rufen wir zurück, daß $A->($A) genau Y(\&pfak) ist,

Lesen wir

Y(\&pfak) === sub {
                $u=shift;
                (pfak(Y(\&pfak))->($u)
              }

Und damit gilt für Zahlen $N:

Y(\&pfak)->($N) === pfak(Y(\&pfak))->($N)

Was nichts anderes besagt, als daß Y(\&pfak) Fixpunkt von von pfak ist, also die Lösung unserer ursprünglichen Fixpunktgleichung.

Das ist eben Perl !

Zugegeben: Die Materie ist nicht ganz einfach. Aber es lohnt sich, über den Y-Kombinator nachzudenken und damit zu spielen. Er zeigt auch eindrucksvoll, wie korrekt und vollständig das Design des Perl-Laufzeitsystems ist. Java zum Beispiel kann den Y-Kombinator nicht darstellen, denn dort sind Funktionen (leider auch Klassen) keine First-Class-Objects. Weiterhin kennt Java keine Closures, die hier aber dringend erforderlich sind.

125 Comments

Dein Bär

Dez 10, 2008 at 08:48

Schöner Artikel.

Aber mal unter uns: Diese praktische Anwendung der kombinatorischen Logik möchte man weder in Java noch in Perl wirklich umsetzen. In beiden Fällen geht es irgendwie (z.B. in Java mit Apache Commons Functor) ist aber jeweils potthässlich und ein Akt, wie Du z.B. eindrucksvoll mit 17 Zeilen Perl für den Y Kombinator demonstriert hast.

Patrick Krusenotto

Dez 10, 2008 at 11:38

Danke für die Blumen.

Natürlich sind wir hier nicht wirklich unter uns…

Zu Deiner Bemerkung: Ich hatte großen Spaß daran. Ich gebe Dir aber Recht, daß der Y-Kombinator in Haskell eleganter formuliert werden kann. Übrigens sind es 14 Zeilen. VIele Grüße, Patrick

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